1 圣维南原理

  圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）由法国力学家圣维南于 1855 年提出：作用在弹性体上一小块区域内的荷载，在离荷载作用区稍远处引起的应力，基本上只取决于荷载的合力与合力矩，而与荷载的具体分布形式无关；分布形式只影响荷载区附近的应力。

  这条原理至今没有严格的数学证明，主要依赖工程实践与实验验证。一个自然的疑问是：“稍远”到底要多远？ 本文用两组静力等效的载荷（集中力与均布载荷，合力均为 1000N）作用于同一悬臂梁，提取中轴线上各应力分量沿板长的分布并逐点对比，用差值随距离的衰减来回答这个问题。

  本文中使用的Abaqus版本是2025。

2 Abaqus模型构建与应力云图

2.1 集中力1000N

  集中力Abaqus源文件点此处下载。

图2.1 悬臂梁有限元分析模型（自由端受集中力1000N）

图2.1 悬臂梁有限元分析模型（自由端受集中力1000N）

图2.2 悬臂梁固定端边界条件（自由端受集中力1000N）

图2.2 悬臂梁固定端边界条件（自由端受集中力1000N）

图2.3 悬臂梁自由端载荷条件（自由端受集中力1000N）

图2.3 悬臂梁自由端载荷条件（自由端受集中力1000N）

图2.4 悬臂梁应力云图（自由端受集中力1000N）

图2.4 悬臂梁应力云图（自由端受集中力1000N）

2.2 均布载荷10N/m2

  均布载荷Abaqus源文件点此处下载。

图2.5 悬臂梁有限元分析模型（自由端受均布载荷10N/m^2)

图2.5 悬臂梁有限元分析模型（自由端受均布载荷10N/m2）

图2.6 悬臂梁固定端边界条件（自由端受均布载荷10N/m^2>）</center>

图2.6 悬臂梁固定端边界条件（自由端受均布载荷10N/m2>）

图2.7 悬臂梁自由端载荷条件（自由端受均布载荷10N/m^2）

图2.7 悬臂梁自由端载荷条件（自由端受均布载荷10N/m2）

图2.8 悬臂梁应力云图（自由端受均布载荷10N/m^2）

图2.8 悬臂梁应力云图（自由端受均布载荷10N/m2）

2.3 两种状况下中轴线应力比较

  沿板长方向（X 从 -50 到 50）建立应力提取路径，逐点读取两种荷载作用下的应力分量并作差，如下表（单位：Pa）。

表2.1 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S11应力比较

X 集中载荷S11 均布载荷S11 差值
−50-50 8.876238.87623 8.876238.87623 00
−45-45 10.495710.4957 10.495710.4957 00
−40-40 10.087210.0872 10.087210.0872 00
−35-35 10.002210.0022 10.002210.0022 00
−30-30 9.999279.99927 9.999279.99927 00
−25-25 9.999919.99991 9.999919.99991 00
−20-20 1010 1010 00
−15-15 1010 1010 00
−10-10 1010 1010 00
−5-5 1010 1010 00
00 1010 1010 00
55 1010 1010 00
1010 1010 1010 00
1515 1010 1010 00
2020 10.000110.0001 1010 0.00010.0001
2525 9.999729.99972 1010 −0.00028-0.00028
3030 9.99119.9911 1010 −0.0089-0.0089
3535 9.95749.9574 1010 −0.0426-0.0426
4040 10.563910.5639 1010 0.56390.5639
4545 22.382822.3828 1010 12.382812.3828
5050 1948.331948.33 1010 1938.331938.33

表2.2 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S22应力比较

X 集中载荷S22 均布载荷S22 差值
−50-50 3.4493.449 3.4493.449 00
−45-45 0.1815410.181541 0.1815410.181541 00
−40-40 −0.0448052-0.0448052 −0.0448052-0.0448052 00
−35-35 −0.00582249-0.00582249 −0.00582249-0.00582249 00
−30-30 −4.07153×10−5-4.07153\times10^{-5} −4.07153×10−5-4.07153\times10^{-5} 00
−25-25 5.82346×10−55.82346\times10^{-5} 5.82345×10−55.82345\times10^{-5} 1×10−101\times10^{-10}
−20-20 5.61251×10−65.61251\times10^{-6} 5.61246×10−65.61246\times10^{-6} 5×10−115\times10^{-11}
−15-15 −1.2148×10−7-1.2148\times10^{-7} −1.21758×10−7-1.21758\times10^{-7} 2.78×10−102.78\times10^{-10}
−10-10 −6.97173×10−8-6.97173\times10^{-8} −7.12579×10−8-7.12579\times10^{-8} 1.5406×10−91.5406\times10^{-9}
−5-5 2.3356×10−92.3356\times10^{-9} −5.21618×10−9-5.21618\times10^{-9} 7.55178×10−97.55178\times10^{-9}
00 2.81916×10−82.81916\times10^{-8} 2.64232×10−102.64232\times10^{-10} 2.79274×10−82.79274\times10^{-8}
55 −1.30203×10−8-1.30203\times10^{-8} 7.4926×10−117.4926\times10^{-11} −1.30952×10−8-1.30952\times10^{-8}
1010 −1.53791×10−6-1.53791\times10^{-6} 3.36547×10−123.36547\times10^{-12} −1.53791×10−6-1.53791\times10^{-6}
1515 −0.000014944-0.000014944 −4.097×10−13-4.097\times10^{-13} −0.000014944-0.000014944
2020 −5.98787×10−5-5.98787\times10^{-5} −7.79377×10−14-7.79377\times10^{-14} −5.98787×10−5-5.98787\times10^{-5}
2525 0.0001401980.000140198 2.31509×10−132.31509\times10^{-13} 0.0001401980.000140198
3030 0.001139830.00113983 3.13638×10−153.13638\times10^{-15} 0.001139830.00113983
3535 −0.0399905-0.0399905 3.80251×10−153.80251\times10^{-15} −0.0399905-0.0399905
4040 −0.672806-0.672806 7.52454×10−147.52454\times10^{-14} −0.672806-0.672806
4545 −4.43144-4.43144 −8.54317×10−14-8.54317\times10^{-14} −4.43144-4.43144
5050 682.577682.577 −4.13836×10−13-4.13836\times10^{-13} 682.577682.577

表2.3 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S33应力比较

X 集中载荷S33 均布载荷S33 差值
−50-50 3.4493.449 3.4493.449 00
−45-45 0.1815410.181541 0.1815410.181541 00
−40-40 −0.0448052-0.0448052 −0.0448052-0.0448052 00
−35-35 −0.00582249-0.00582249 −0.00582249-0.00582249 00
−30-30 −4.07153×10−5-4.07153\times10^{-5} −4.07153×10−5-4.07153\times10^{-5} 00
−25-25 5.82346×10−55.82346\times10^{-5} 5.82345×10−55.82345\times10^{-5} 1×10−101\times10^{-10}
−20-20 5.61251×10−65.61251\times10^{-6} 5.61246×10−65.61246\times10^{-6} 5×10−115\times10^{-11}
−15-15 −1.2148×10−7-1.2148\times10^{-7} −1.21758×10−7-1.21758\times10^{-7} 2.78×10−102.78\times10^{-10}
−10-10 −6.97174×10−8-6.97174\times10^{-8} −7.1258×10−8-7.1258\times10^{-8} 1.5406×10−91.5406\times10^{-9}
−5-5 2.33567×10−92.33567\times10^{-9} −5.21611×10−9-5.21611\times10^{-9} 7.55178×10−97.55178\times10^{-9}
00 2.81916×10−82.81916\times10^{-8} 2.6429×10−102.6429\times10^{-10} 2.79273×10−82.79273\times10^{-8}
55 −1.30203×10−8-1.30203\times10^{-8} 7.49479×10−117.49479\times10^{-11} −1.30952×10−8-1.30952\times10^{-8}
1010 −1.53791×10−6-1.53791\times10^{-6} 3.43481×10−123.43481\times10^{-12} −1.53791×10−6-1.53791\times10^{-6}
1515 −0.000014944-0.000014944 −4.53082×10−13-4.53082\times10^{-13} −0.000014944-0.000014944
2020 −5.98787×10−5-5.98787\times10^{-5} −8.99281×10−14-8.99281\times10^{-14} −5.98787×10−5-5.98787\times10^{-5}
2525 0.0001401980.000140198 8.67084×10−148.67084\times10^{-14} 0.0001401980.000140198
3030 0.001139830.00113983 5.70655×10−145.70655\times10^{-14} 0.001139830.00113983
3535 −0.0399905-0.0399905 2.22045×10−152.22045\times10^{-15} −0.0399905-0.0399905
4040 −0.672806-0.672806 −1.23457×10−13-1.23457\times10^{-13} −0.672806-0.672806
4545 −4.43144-4.43144 1.55764×10−131.55764\times10^{-13} −4.43144-4.43144
5050 682.577682.577 −3.19744×10−13-3.19744\times10^{-13} 682.577682.577

表2.4 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S12应力比较

X 集中载荷S12 均布载荷S12 差值
−50-50 00 00 00
−45-45 00 00 00
−40-40 00 00 00
−35-35 00 00 00
−30-30 00 00 00
−25-25 −8.52651×10−14-8.52651\times10^{-14} −2.98428×10−13-2.98428\times10^{-13} 2.13163×10−132.13163\times10^{-13}
−20-20 −1.50768×10−13-1.50768\times10^{-13} −1.4827×10−13-1.4827\times10^{-13} −2.498×10−15-2.498\times10^{-15}
−15-15 −1.10134×10−13-1.10134\times10^{-13} −1.29674×10−13-1.29674\times10^{-13} 1.954×10−141.954\times10^{-14}
−10-10 −1.82521×10−13-1.82521\times10^{-13} −1.87406×10−13-1.87406\times10^{-13} 4.885×10−154.885\times10^{-15}
−5-5 −1.49214×10−13-1.49214\times10^{-13} −2.09388×10−13-2.09388\times10^{-13} 6.0174×10−146.0174\times10^{-14}
00 −1.42109×10−13-1.42109\times10^{-13} −4.52416×10−14-4.52416\times10^{-14} −9.68674×10−14-9.68674\times10^{-14}
55 −1.7053×10−13-1.7053\times10^{-13} 4.47489×10−144.47489\times10^{-14} −2.15279×10−13-2.15279\times10^{-13}
1010 00 −1.71286×10−13-1.71286\times10^{-13} 1.71286×10−131.71286\times10^{-13}
1515 00 −1.61523×10−13-1.61523\times10^{-13} 1.61523×10−131.61523\times10^{-13}
2020 00 −2.76914×10−13-2.76914\times10^{-13} 2.76914×10−132.76914\times10^{-13}
2525 00 −9.90686×10−14-9.90686\times10^{-14} 9.90686×10−149.90686\times10^{-14}
3030 00 1.018×10−131.018\times10^{-13} −1.018×10−13-1.018\times10^{-13}
3535 00 6.41111×10−146.41111\times10^{-14} −6.41111×10−14-6.41111\times10^{-14}
4040 00 3.89831×10−133.89831\times10^{-13} −3.89831×10−13-3.89831\times10^{-13}
4545 00 −5.50768×10−15-5.50768\times10^{-15} 5.50768×10−155.50768\times10^{-15}
5050 00 4.35473×10−144.35473\times10^{-14} −4.35473×10−14-4.35473\times10^{-14}

表2.5 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S13应力比较

X 集中载荷S13 均布载荷S13 差值
−50-50 00 00 00
−45-45 00 00 00
−40-40 00 00 00
−35-35 00 00 00
−30-30 −2.27374×10−13-2.27374\times10^{-13} −2.27374×10−13-2.27374\times10^{-13} 00
−25-25 −2.27374×10−13-2.27374\times10^{-13} −2.41585×10−13-2.41585\times10^{-13} 1.4211×10−141.4211\times10^{-14}
−20-20 −2.93321×10−13-2.93321\times10^{-13} −2.921×10−13-2.921\times10^{-13} −1.221×10−15-1.221\times10^{-15}
−15-15 −2.64677×10−13-2.64677\times10^{-13} −1.98952×10−13-1.98952\times10^{-13} −6.5725×10−14-6.5725\times10^{-14}
−10-10 −2.31815×10−13-2.31815\times10^{-13} −1.63425×10−13-1.63425\times10^{-13} −6.839×10−14-6.839\times10^{-14}
−5-5 −3.05533×10−13-3.05533\times10^{-13} −1.72307×10−13-1.72307\times10^{-13} −1.33226×10−13-1.33226\times10^{-13}
00 −4.40536×10−13-4.40536\times10^{-13} −3.31013×10−13-3.31013\times10^{-13} −1.09523×10−13-1.09523\times10^{-13}
55 −3.12639×10−13-3.12639\times10^{-13} −2.22298×10−13-2.22298\times10^{-13} −9.0341×10−14-9.0341\times10^{-14}
1010 00 −4.6596×10−14-4.6596\times10^{-14} 4.6596×10−144.6596\times10^{-14}
1515 00 −6.4631×10−14-6.4631\times10^{-14} 6.4631×10−146.4631\times10^{-14}
2020 00 5.40989×10−145.40989\times10^{-14} −5.40989×10−14-5.40989\times10^{-14}
2525 00 1.69664×10−131.69664\times10^{-13} −1.69664×10−13-1.69664\times10^{-13}
3030 00 −3.03531×10−13-3.03531\times10^{-13} 3.03531×10−133.03531\times10^{-13}
3535 00 −2.91012×10−13-2.91012\times10^{-13} 2.91012×10−132.91012\times10^{-13}
4040 00 −1.0803×10−13-1.0803\times10^{-13} 1.0803×10−131.0803\times10^{-13}
4545 00 −4.29756×10−13-4.29756\times10^{-13} 4.29756×10−134.29756\times10^{-13}
5050 00 1.35333×10−131.35333\times10^{-13} −1.35333×10−13-1.35333\times10^{-13}

表2.6 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S23应力比较

X 集中载荷S23 均布载荷S23 差值
−50-50 00 00 00
−45-45 00 00 00
−40-40 00 00 00
−35-35 2.84217×10−142.84217\times10^{-14} 00 2.84217×10−142.84217\times10^{-14}
−30-30 2.84217×10−142.84217\times10^{-14} −1.42109×10−14-1.42109\times10^{-14} 4.26326×10−144.26326\times10^{-14}
−25-25 2.84217×10−142.84217\times10^{-14} 3.37508×10−143.37508\times10^{-14} −5.3291×10−15-5.3291\times10^{-15}
−20-20 1.90958×10−141.90958\times10^{-14} 2.54241×10−142.54241\times10^{-14} −6.3283×10−15-6.3283\times10^{-15}
−15-15 −1.37113×10−14-1.37113\times10^{-14} −1.55986×10−14-1.55986\times10^{-14} 1.8873×10−151.8873\times10^{-15}
−10-10 −5.03139×10−14-5.03139\times10^{-14} −5.52319×10−14-5.52319\times10^{-14} 4.918×10−154.918\times10^{-15}
−5-5 1.24206×10−141.24206\times10^{-14} −2.21513×10−15-2.21513\times10^{-15} 1.46357×10−141.46357\times10^{-14}
00 3.90799×10−143.90799\times10^{-14} 5.78159×10−145.78159\times10^{-14} −1.8736×10−14-1.8736\times10^{-14}
55 7.10543×10−157.10543\times10^{-15} −1.99846×10−15-1.99846\times10^{-15} 9.10389×10−159.10389\times10^{-15}
1010 5.68434×10−145.68434\times10^{-14} 6.66726×10−146.66726\times10^{-14} −9.8292×10−15-9.8292\times10^{-15}
1515 00 3.93328×10−143.93328\times10^{-14} −3.93328×10−14-3.93328\times10^{-14}
2020 00 2.20134×10−142.20134\times10^{-14} −2.20134×10−14-2.20134\times10^{-14}
2525 00 8.48766×10−148.48766\times10^{-14} −8.48766×10−14-8.48766\times10^{-14}
3030 00 2.39167×10−142.39167\times10^{-14} −2.39167×10−14-2.39167\times10^{-14}
3535 00 1.18696×10−141.18696\times10^{-14} −1.18696×10−14-1.18696\times10^{-14}
4040 00 5.65762×10−145.65762\times10^{-14} −5.65762×10−14-5.65762\times10^{-14}
4545 00 7.4142×10−147.4142\times10^{-14} −7.4142×10−14-7.4142\times10^{-14}
5050 00 3.31265×10−133.31265\times10^{-13} −3.31265×10−13-3.31265\times10^{-13}

  在直角坐标系中，绘制图像。

图2.9 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S11应力曲线对比

图2.9 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S11应力曲线对比

图2.10 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S22应力曲线对比

图2.10 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S22应力曲线对比

图2.11 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S33应力曲线对比

图2.11 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S33应力曲线对比

图2.12 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S12应力曲线对比

图2.12 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S12应力曲线对比

图2.13 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S13应力曲线对比

图2.13 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S13应力曲线对比

图2.14 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S23应力曲线对比

图2.14 悬臂梁在两种不同荷载作用下的中轴线S23应力曲线对比

  由图可见：在远离载荷作用区的一段范围内，两种载荷的应力曲线完全重合；越靠近载荷施加端，两条曲线才逐渐分离，且分离程度随距离减小而急剧增大。这与圣维南原理的预期一致。

3 分析与总结

  本次对比沿中轴线提取了 S11S11（轴向）、S22S22（竖向）、S33S33（厚度方向）、S12S12、S13S13、S23S23 六个应力分量，逐点作差。其中起决定作用的是 S11S11，S12S12、S13S13、S23S23 三个剪应力分量在两种工况下全为 0，S22S22 与 S33S33 数值相同（见下文说明）。下面以 S11S11 为主线分析。

  在中轴线的 X=−50X=-50 至 X=20X=20 区间（远离载荷作用区），集中力（1000N1000N）与均布载荷（10N/m210N/m^2）作用下的 S11S11 完全一致，差值为 0——该段应力只由合力决定，与分布形式无关。

  在 X=25X=25 至 X=50X=50 区间（靠近载荷作用区），两者开始分离且分离迅速加剧：X=25X=25 处差值仅约 2.8×10−4Pa2.8\times10^{-4}Pa，到 X=50X=50 处已达 1.94×103Pa1.94\times10^{3}Pa，增大约 7 个数量级。载荷作用点上，集中力对应的 S11S11 为 1948.33Pa1948.33Pa，均布载荷仅为 10Pa10Pa——相差约 195 倍。原因很直接：集中力把荷载压在一点上，该点附近应力急剧升高；均布载荷把同样的合力摊在一个区域上，应力平缓得多。

  由此可以给出本题的定量回答。取样路径全长 100 个单位（XX 从 −50-50 到 5050，−50-50 端为固定端，5050 端为加载端），按受载荷分布形式影响的程度可分为三段：

区段 位置范围 占全长 两种载荷的应力
无差别区 X=−50X=-50 至 X=20X=20 70%70\% 完全一致，差值恒为 00
过渡区 X=20X=20 至 X=25X=25 5%5\% 开始出现极微小差异（约 10−4Pa10^{-4}Pa 量级）
有明显差别区 X=25X=25 至 X=50X=50 25%25\% 差异迅速增大，至加载端达 1.94×103Pa1.94\times10^{3}Pa

  也就是说：沿梁长从固定端起算，前 70% 的长度内，两种静力等效载荷引起的应力完全相同，载荷具体怎么分布毫无影响；再往加载端走 5% 进入过渡；最后 25% 的区段内分布形式的影响才显现，并且越靠近加载点越剧烈。这就是“稍远”在本问题中的具体尺度——约合全长的 70%。

  各分量的完整数据见第 2 章的表 2.1～表 2.6。此处补充两点说明。其一，表 2.1 中 X=−50X=-50 至 X=−5X=-5 段的 S11S11 并非恒定（8.88 → 10.50 → 10.00 …），这是固定端约束效应——−50-50 端为固支端，约束使该处应力偏离纯弯曲的均匀值，与载荷分布形式无关，两种工况在这一段仍完全一致。其二，表 2.2（S22S22）与表 2.3（S33S33）的数值逐点相同，这与本文所用二维平面模型有关，S33S33 在平面应力假设下不独立；若需考察厚度方向应力，应改用三维实体模型。

力学Abaqus
许可协议

本文由Primerusse原创，采用CC BY-NC-SA 4.0 许可协议，转载请注明出处。

分享文章