基于Abaqus的横向均匀拉伸矩形带孔薄板的有限元分析（原文精简版）

1 横向均匀拉伸矩形带孔薄板问题

  如下图所示，一个厚度均匀的矩形薄板，在顶点作用沿板厚方向均匀分布的竖向载荷。已知薄板尺寸为：长$a=1m$, 宽$b=0.6m$，厚$t=0.01m$，在薄板中心位置挖掉一个半径的圆孔$r=0.1m$。薄板左右两边均受$q=100N/m$的均匀载荷作用。薄板的弹性模量$E=200GPa$，泊松比$\mu=0.3$，忽略自重。试使用不同的单元类型及不同的单元数量（至少选择$3$组不同的情况）对薄板进行有限元分析（应力、应变及位移等），并与解析解对比计算精度。

  本文中使用的Abaqus版本是2025。

2 Abaqus模型构建

  Abaqus源文件点此处下载。

3 网格划分与数值模拟云图

3.1 六面体网格，全局尺寸0.05

3.2 四面体网格，全局尺寸0.05

3.3 四面体网格，全局尺寸0.005

4 数值模拟结果与解析结果比较

  先进行理论计算。由基尔斯解答可知$\sigma_r$，$\sigma_\theta$，$\tau_{r\theta}$的表达式，$a$为圆孔半径。

$$\begin{aligned} \begin{cases} \sigma_r=\dfrac{q}{2}\left(1-\dfrac{a^2}{r^2}\right)+\dfrac{q}{2}\left(1-\dfrac{4a^2}{r^2}+\dfrac{3a^4}{r^4}\right)cos2\theta\\ \sigma_\theta=\dfrac{q}{2}\left(1+\dfrac{a^2}{r^2}\right)-\dfrac{q}{2}\left(1+\dfrac{3a^4}{r^4}\right)cos2\theta\\ \tau_{r\theta}=-\dfrac{q}{2}\left(1+\dfrac{2a^2}{r^2}-\dfrac{3a^4}{r^4}\right)sin2\theta \end{cases} \end{aligned}$$

  代入

$$\begin{aligned} \begin{cases} r=a=0.1\\ \theta=\dfrac{\pi}{2}\\ q=100 \end{cases} \end{aligned}$$

  得，

$$\begin{aligned} \begin{cases} \sigma_r=0\\ \sigma_\theta=300\\ \tau_{r\theta}=0 \end{cases} \end{aligned}$$

  选圆孔应力集中点分析，并化成直角坐标系，

$$\begin{aligned} \begin{cases} \sigma_x=300\\ \sigma_y=0\\ \tau_{xy}=0 \end{cases} \end{aligned}$$

  与第3章结果进行比较，见下表。

5 总结与讨论

  本题目以带圆孔的四边形薄板为分析对象，借助Abaqus有限元软件，系统探究不同网格类型（六面体网格、四面体网格）及不同网格尺寸对应力求解精度的影响，同时分析结构的位移分布规律。分析的核心关注点为圆孔周边的应力集中区域，该区域是薄板结构的薄弱环节，其应力计算精度直接关系到结构强度评估的可靠性，所有数据均来源于软件仿真过程中的应力、位移输出结果，通过与理论解析值（$\sigma_x$理论值$300MPa$）的对比，量化求解误差。

  第一，网格类型与尺寸对应力精度的影响。在网格尺寸均为$0.05m$的条件下，采用六面体网格求解得到圆孔应力集中点的轴向应力（$\sigma_x$）数值为$277.98MPa$，与理论值的绝对误差为$22.02MPa$，相对误差为$7.34$；竖向应力（$\sigma_y$）数值为$22.6644MPa$，因该位置理论上$\sigma_y$应为0，故绝对误差为$22.6644MPa$。采用四面体网格（尺寸$0.05m$）求解时，$\sigma_x$数值为$325.81MPa$，绝对误差为$25.81MPa$，相对误差为$8.60$，较六面体网格的误差增加了$17.21$；$\sigma_y$数值为$24.0564MPa$，绝对误差为$24.0564MPa$，较六面体网格增加了$6.14$，表明在相同网格尺寸下，六面体网格的应力求解精度整体优于四面体网格。当将四面体网格尺寸细化至$0.005m$时，应力结果呈现出差异化的变化趋势：$\sigma_x$数值升至$355.212MPa$，与理论值的绝对误差扩大至$55.212MPa$，相对误差增至$18.40$，较粗网格四面体的误差大幅增加；而$\sigma_y$数值则降至$0.338858MPa$，绝对误差仅为$0.338858MPa$，较粗网格四面体大幅降低。这一异常现象表明，网格细化并非必然带来求解精度的提升，其效果与网格类型、结构应力分布特征密切相关。

  网格类型对应力求解精度具有决定性影响，六面体网格作为结构化网格，其单元形态规则，形函数插值精度高，能够更准确地拟合圆孔周边复杂的应力场分布，因此在应力集中区域的模拟中表现更优，更接近理论解；而四面体网格作为非结构化网格，单元形态易出现不规则性，尤其在应力梯度较大的区域，插值误差相对较大，导致应力求解精度较低。这一结论为工程建模中网格类型的选择提供了明确依据：对于存在应力集中、对精度要求较高的结构分析，应优先采用结构化的六面体网格。

  网格质量是影响求解精度的核心因素，而非仅网格密度。本次分析中，四面体网格细化后（$0.005m$）$\sigma_x$误差反而增大，其核心原因在于网格细化过程中，圆孔周边的四面体单元出现了过度扭曲、畸形等质量问题，导致单元刚度矩阵计算出现偏差，进而影响应力求解结果。而$\sigma_y$误差的降低则是因为$\sigma_y$在圆孔周边的应力梯度较小，网格细化对该方向应力场的拟合精度提升作用超过了网格质量下降带来的负面影响。这一现象警示我们，在有限元建模中，不能盲目追求网格密度，而应将网格质量放在首位，通过合理的网格划分策略（如采用网格控制、局部加密等）保障单元形态的规则性，才能有效提升求解精度。

  第二，位移分布规律。通过软件输出的位移云图及数值数据，可清晰观察到薄板的三维位移特征。$U1$方向（水平方向）位移绝对值随网格细化呈现轻微增大趋势，在六面体网格（$0.05m$）下$U1$位移均值为$0.0021m$，在四面体网格（$0.05m$）下为$0.0023m$，在四面体网格（$0.005m$）下为$0.0026m$，这一变化源于网格细化后对结构局部变形的捕捉能力增强，使得位移计算结果更接近实际变形状态。$U2$方向（竖直方向）位移在三种网格组合下数值较为接近，均值均在$0.0015-0.0017m$之间，波动幅度极小，表明竖直方向位移受网格类型与尺寸的影响较小，其分布主要由结构的整体受力特征主导。$U3$方向（厚度方向）位移数值极小，均在$10^{-6}m$量级，可忽略不计，这一结果验证了将薄板问题按平面应力问题简化的合理性，也表明模型的厚度方向约束设置符合工程实际。应变云图显示，圆孔周边存在明显的应变集中现象，应变数值远高于薄板其他区域，且六面体网格的应变分布更平滑，过渡更自然，四面体网格的应变云图则存在局部波动，这与应力结果的分布特征一致。

  另外，在计算位移云图的过程中，我们发现云图形状左右对称，但数值不左右对称，并且笔者组做出来的都是这个结果。我们猜测，可能是软件（Abaqus 2025）的问题。软件给试件左右两个面施加均布载荷的时候，先加了右侧，再加了左侧。导致试件整体有一个往右的位移。修正结果的方法，求出变形前圆孔圆心与变形后类椭圆孔中心的水平距离，再在变形后的每一点的水平位移数据，减去这这数值即可。

  Abaqus软件的建模与求解流程展现了强大的工程问题模拟能力。本次分析中，对称边界条件的合理应用有效简化了模型规模，降低了计算成本，同时保证了求解结果的合理性；软件对不同网格类型的支持的适配性，使得我们能够系统探究网格参数对结果的影响。通过本次实践，进一步掌握了有限元软件在薄板结构应力应变分析中的应用要点，包括模型简化原则、网格划分技巧、边界条件与载荷施加方法等，为后续更复杂的板壳结构分析积累了宝贵经验。