1 问题导入

1.1 问题描述

  图示结构，a=2ma=2m，梁ABAB和梁CDCD的抗弯刚度均为E1I1=24×106N⋅m2E_1I_1=24\times 10^6N\cdot m^2。两梁用长l=5ml=5m、抗拉刚度E2A2=6×107NE_2A_2=6\times 10^7N的钢杆连接。若F=50kNF=50kN，试求梁ABAB的BB点挠度。

1.2 问题假设

  因为杆BEBE只受轴力，假设杆BEBE在结构中始终保持竖直。

  杆ABAB和杆CDCD上的各点只存在竖直方向的位移，不存在水平方向的位移。

  本文中使用的MATLAB版本是R2024b。

2 常规解析法求解问题

  在本章，我们将采用常规解析法求解问题，为以后MATLAB仿真法提供相互对照。

  设杆BEBE的轴力为ff。由题易得，杆BEBE轴向拉伸。先分别求出杆ABAB的BB点挠度和杆CDCD的EE点挠度，进而可以得到杆BEBE的长度，再与由杆BEBE的轴向拉伸公式解出的杆BEBE的长度相对照，可解出ff。

2.1 杆AB的分析及B点挠度

  杆ABAB的受力图如下。

  杆ABAB的剪力图与弯矩图如下。

  有

FsAB(x)=f(2.1)F_{sAB}(x)=f\tag{2.1}

MAB(x)=−fx+fa(2.2)M_{AB}(x)=-fx+fa\tag{2.2}

  由d2ω(x)dx2=−1EIM(x)\frac{d^2\omega(x)}{dx^2}=-\frac{1}{EI}M(x)得

d2ωAB(x)dx2=−1E1I1(−fx+fa)(2.3)\frac{d^2\omega_{AB}(x)}{dx^2}=-\frac{1}{E_1I_1}(-fx+fa)\tag{2.3}

  两边同时积分，得

θAB(x)=dωAB(x)dx=−1E1I1(−12fx2+fax)(2.4)\theta_{AB}(x)=\frac{d\omega_{AB}(x)}{dx}=-\frac{1}{E_1I_1}\left(-\frac{1}{2}fx^2+fax\right)\tag{2.4}

ωAB(x)=−1E1I1(−16fx3+12fax2)(2.5)\omega_{AB}(x)=-\frac{1}{E_1I_1}\left(-\frac{1}{6}fx^3+\frac{1}{2}fax^2\right)\tag{2.5}

  BB点的挠度，将x=ax=a代入(2.5)(2.5)式，得

ωB=ωAB(a)=−fa33E1I1(2.6)\omega_{B}=\omega_{AB}(a)=-\frac{fa^3}{3E_1I_1}\tag{2.6}

2.2 杆CD的分析及D、E点挠度

  杆CDCD的受力图如下。

  杆CDCD的剪力图与弯矩图如下。

  有

FsCD(x)={F−f,0≤x≤aF,a<x≤2a(2.7)\begin{aligned} F_{sCD}(x)= \begin{cases} F-f,\quad &0\leq x\leq a\\ F,\quad &a<x\leq 2a \end{cases} \end{aligned} \tag{2.7}

MCD(x)={−(F−f)x+(2F−f)a,0≤x≤a−Fx+2Fa,a<x≤2a(2.8)\begin{aligned} M_{CD}(x)= \begin{cases} -(F-f)x+(2F-f)a,\quad &0\leq x\leq a\\ -Fx+2Fa,\quad &a<x\leq 2a \end{cases} \end{aligned} \tag{2.8}

  当0≤x≤a\pmb{0\leq x\leq a}时，

FsCD(x)=F−f(2.9)F_{sCD}(x)=F-f\tag{2.9}

MCD(x)=−(F−f)x+(2F−f)a(2.10)M_{CD}(x)=-(F-f)x+(2F-f)a\tag{2.10}

  由d2ω(x)dx2=−1EIM(x)\frac{d^2\omega(x)}{dx^2}=-\frac{1}{EI}M(x)得

d2ωCD(x)dx2=−1E1I1[−(F−f)x+(2F−f)a](2.11)\frac{d^2\omega_{CD}(x)}{dx^2}=-\frac{1}{E_1I_1}[-(F-f)x+(2F-f)a]\tag{2.11}

  两边同时积分，得

θCD(x)=dωCD(x)dx=−1E1I1[−12(F−f)x2+(2F−f)ax](2.12)\theta_{CD}(x)=\frac{d\omega_{CD}(x)}{dx}=-\frac{1}{E_1I_1}\left[-\frac{1}{2}(F-f)x^2+(2F-f)ax\right]\tag{2.12}

ωCD(x)=−1E1I1[−16(F−f)x3+12(2F−f)ax2](2.13)\omega_{CD}(x)=-\frac{1}{E_1I_1}\left[-\frac{1}{6}(F-f)x^3+\frac{1}{2}(2F-f)ax^2\right]\tag{2.13}

  EE点的转角和挠度，将x=ax=a代入(2.12)(2.12)式和(2.13)(2.13)式，得

θE=θCD(a)=−1E1I1(32F−12f)a2(2.14)\theta_{E}=\theta_{CD}(a)=-\frac{1}{E_1I_1}\left(\frac{3}{2}F-\frac{1}{2}f\right)a^2\tag{2.14}

ωE=ωCD(a)=−1E1I1(56F−13f)a3(2.15)\omega_{E}=\omega_{CD}(a)=-\frac{1}{E_1I_1}\left(\frac{5}{6}F-\frac{1}{3}f\right)a^3\tag{2.15}

  当a<x≤2a\pmb{a<x\leq 2a}时，

FsCD(x)=F(2.16)F_{sCD}(x)=F\tag{2.16}

MCD(x)=−Fx+2Fa(2.17)M_{CD}(x)=-Fx+2Fa\tag{2.17}

  由d2ω(x)dx2=−1EIM(x)\frac{d^2\omega(x)}{dx^2}=-\frac{1}{EI}M(x)得

d2ωCD(x)dx2=−1E1I1(−Fx+2Fa)(2.18)\frac{d^2\omega_{CD}(x)}{dx^2}=-\frac{1}{E_1I_1}(-Fx+2Fa)\tag{2.18}

  两边同时积分，得

θCD(x)=dωCD(x)dx=−1E1I1[−12Fx2+2Fax−12fa2](2.19)\theta_{CD}(x)=\frac{d\omega_{CD}(x)}{dx}=-\frac{1}{E_1I_1}\left[-\frac{1}{2}Fx^2+2Fax-\frac{1}{2}fa^2\right]\tag{2.19}

ωCD(x)=−1E1I1[−16Fx3+Fax2−12fa2x+16fa3](2.20)\omega_{CD}(x)=-\frac{1}{E_1I_1}\left[-\frac{1}{6}Fx^3+Fax^2-\frac{1}{2}fa^2x+\frac{1}{6}fa^3\right]\tag{2.20}

2.3 杆BE的分析

  杆BEBE的轴力为ff，由Δl=FNlEA\Delta l=\frac{F_Nl}{EA}得

ΔlBE=flE2A2(2.21)\Delta l_{BE}=\frac{fl}{E_2A_2}\tag{2.21}

  另外，

ΔlBE=ωB−ωE=−fa33E1I1+1E1I1(56F−13f)a3=1E1I1(56F−23f)a3(2.22)\begin{aligned} \Delta l_{BE}=&\omega_{B}-\omega_{E}=-\frac{fa^3}{3E_1I_1}+\frac{1}{E_1I_1}\left(\frac{5}{6}F-\frac{1}{3}f\right)a^3\\ =&\frac{1}{E_1I_1}\left(\frac{5}{6}F-\frac{2}{3}f\right)a^3 \end{aligned} \tag{2.22}

  联立(2.21)(2.21)式和(2.22)(2.22)式，得

f=5E2A2Fa36E1I1l+4E2A2a3(2.23)f=\frac{5E_2A_2Fa^3}{6E_1I_1l+4E_2A_2a^3}\tag{2.23}

2.4 B点的挠度

  将(2.23)(2.23)式代入(2.6)(2.6)式，得

ωB=−5E2A2Fa63E1I1(6E1I1l+4E2A2a3)=−1198≈−0.005051(2.24)\omega_{B}=-\frac{5E_2A_2Fa^6}{3E_1I_1(6E_1I_1l+4E_2A_2a^3)}=-\frac{1}{198}\approx-0.005051\tag{2.24}

3 MATLAB仿真法求解问题

3.1 自由端受集中载荷的悬臂梁仿真思路

  如图，有一悬臂梁，其自由端受一集中载荷FF。

  剪力图与弯矩图如下。

  将梁划分为若干长度为dxdx的微元。

  分析从右往左数第一个（最右端）微元的受力状态。

  其中，Fs1F_{s1}和M1M_1是从右往左数第二个微元作用在它上的，为维持平衡，Fs1F_{s1}和M1M_1需满足

{Fs1=FM1=Fdx(3.1)\begin{aligned} \begin{cases} F_{s1}=F\\ M_1=Fdx \end{cases} \end{aligned} \tag{3.1}

  由剪力图与弯矩图可知，这一点所受到的剪力和弯矩为

{Fs1′=FM1′=0(3.2)\begin{aligned} \begin{cases} F_{s1}'=F\\ M_1'=0 \end{cases} \end{aligned} \tag{3.2}

  分析从右往左数第二个微元的受力状态。

  其中，Fs2F_{s2}和M2M_2是从右往左数第三个微元作用在它上的，为维持平衡，Fs2F_{s2}和M2M_2需满足

{Fs2=FM2=2Fdx(3.3)\begin{aligned} \begin{cases} F_{s2}=F\\ M_2=2Fdx \end{cases} \end{aligned} \tag{3.3}

  由剪力图与弯矩图可知，这一点所受到的剪力和弯矩为

{Fs2′=F=Fs1M2′=Fdx=M1(3.4)\begin{aligned} \begin{cases} F_{s2}'=F=F_{s1}\\ M_2'=Fdx=M_1 \end{cases} \end{aligned} \tag{3.4}

  由此可以得出梁上某一点受到的剪力和弯矩，取决于这一点处微元右侧面所受的力与力矩，大小与其相等，方向与其相反。

  弯矩是通过剪力在相邻微元中传递的，宏观上来看，是此微元右侧各点所受到的剪力产生微小力矩（长度为dx\pmb{dx}）的总和。

3.2 算法思路

  设微元长度为dxdx，长度为a的范围内微元数为nxnx。则可以建立一个1×nx1\times nx的矩阵，来描述杆ABAB各微元处的剪力，称为剪力矩阵。同样，可以建立一个1×2nx1\times 2nx的杆CDCD的剪力矩阵。用相同的方法，建立弯矩矩阵和挠度矩阵来描述杆ABAB和杆CDCD各微元处的弯矩和挠度。

  这三种矩阵之间是存在相互联系的。对于剪力矩阵，在除了BB点和EE点之外的所有的点，它的剪力等于右侧相邻点的剪力，由此，可以根据已知的自由端的力，迭代出每一点的剪力。对于弯矩矩阵，每一点弯矩的值，等于右侧各点所受到的剪力产生微小力矩（长度为dxdx）的总和。对于挠度矩阵，每一点挠度函数二阶导数的值，等于这一点弯矩的值乘以−1EI-\frac{1}{EI}。再由辛普森法来求出这一点的挠度的值。

  另外还有边界条件。由第2章剪力图可知，杆ABAB与杆CECE同一竖直方向上的两点，剪力和为FF。

  我们不知道杆BEBE的轴力，可以假定一个初始值。判断这个轴力值合不合适的标准是：由杆AB\pmb{AB}和杆CD\pmb{CD}的两个挠度矩阵，所确定的B\pmb{B}点处挠度值ωB\pmb{\omega_{B}}和E\pmb{E}点处挠度值ωE\pmb{\omega_{E}}，计算两者的差值ωB−ωE\pmb{\omega_{B}-\omega_{E}}。由轴向拉伸公式所确定的杆BE\pmb{BE}的伸长量ΔlBE\pmb{\Delta l_{BE}}（杆BE\pmb{BE}轴力与杆AB\pmb{AB}剪力相同）。应有：

ΔlBE=ωB−ωE(3.5)\pmb{\Delta l_{BE}=\omega_{B}-\omega_{E}\tag{3.5}}

  如果假设的轴力不合适，我们可以对这个值进行微量的增加，再校验。重复以上，直到轴力合适。

  由合适的轴力可以迭代出杆ABAB的挠度矩阵，进而得到BB点处的挠度。

  具体的MATLAB源代码及其运行结果见下。

  源代码已上传Github，可以访问链接下载源代码。

3.3 MATLAB源代码

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clc;
clear;
close all;
format short
%% 参数设置
a = 2;
l = 5;
F = 50 * 10 ^ 3;
E1I1 = 24 * 10 ^ 6;
E2A2 = 6 * 10 ^ 7;
%% 解析解计算
analytical_solution = - (5 * E2A2 * F * a ^ 6) / (3 * E1I1) / (6 * E1I1 * l + 4 * E2A2 * a ^ 3);
%% 离散化参数
dx = 0.005;
% 微元长度
df = 0.5;
% 迭代增加轴力的步长
nx = a / dx;
% 长度为a的微元数
%% 初始化边界条件
F_AB_end = df;
% 杆AB末端剪力初始猜测值
F_CD_end = F;
% 杆CD末端集中力
%% 迭代模拟
for i = 1 : 10 ^ 10
    % 末端尽量大，使充分迭代
    [F_AB, M_AB, W_AB, F_CD, M_CD, W_CD, diff_w, diff_L, w_B] = sim(F_AB_end, F_CD_end, l, F, E1I1, E2A2, dx, nx);
    if mod(i, 100) == 0
        % 进度条
        clc;
        disp('程序运行进度:')
        a = w_B / analytical_solution * 100;
        s = ['[', repmat('*', 1, floor(a / 4)), repmat('-', 1, 50 floor(a / 4)), ']'];
        fprintf('%s', s)
        fprintf('%2.2f%%', a)
    end
    if abs(diff_w - diff_L) <= 0.000001
        % diff_w与diff_L近似相等
        clc;
        fprintf('算法值为: %.4f\n', w_B);
        fprintf('解析值为: %.4f\n', analytical_solution);
        fprintf('算法值与解析值相对误差为: %.4f%%\n', abs((w_B - analytical_solution) / analytical_solution) * 100);
        disp('杆AB的挠度矩阵:')
        disp(W_AB)
        disp('杆CD的挠度矩阵:')
        disp(W_CD)
        break
    end
    F_AB_end = F_AB_end + df;
end
%% 定义模拟函数
function [F_AB, M_AB, W_AB, F_CD, M_CD, W_CD, diff_w, diff_L, w_B] = sim(F_AB_end, F_CD_end, l, F, E1I1, E2A2, dx, nx)
    % 初始化杆件状态
    % 杆AB的剪力、弯矩、挠度矩阵
    F_AB = zeros(1, nx);
    M_AB = zeros(1, nx);
    W_AB = zeros(1, nx);
    % 杆CD的剪力、弯矩、挠度矩阵
    F_CD = zeros(1, 2 * nx);
    M_CD = zeros(1, 2 * nx);
    W_CD = zeros(1, 2 * nx);
    % 初始化边界条件
    F_AB(end) = F_AB_end;
    F_CD(end) = F_CD_end;
    % 剪力的传递
    % 杆AB
    for i = nx-1 : -1 : 1
        F_AB(i) = F_AB(i + 1);
    end
    % 杆CD
    for i = 2 * nx - 1 : - 1 : nx + 1
        F_CD(i) = F_CD(i + 1);
    end
    for i = nx - 1 : - 1 : 1
        F_CD(i) = F - F_AB(i);
    end
    % 弯矩的传递
    % 杆AB
    for i = nx - 1 : - 1 : 1
        M_AB(i) = sum(F_AB(i + 1 : end) * dx);
    end
    % 杆CD
    for i = 2 * nx - 1 : - 1 : 1
        M_CD(i) = sum(F_CD(i + 1 : end) * dx);
    end
    % 挠度的传递
    % 挠度的二阶导数
    W2_AB = - M_AB / E1I1;
    W2_CD = - M_CD / E1I1;
    % 第一次积分，辛普森法数值积分
    slope_AB = simpson_integrate(W2_AB, dx);
    slope_CD = simpson_integrate(W2_CD, dx);
    % 第二次积分，辛普森法数值积分
    W_AB = simpson_integrate(slope_AB, dx);
    W_CD = simpson_integrate(slope_CD, dx);
    % 输出结果
    diff_w = W_AB(nx) - W_CD(nx);
    diff_L = F_AB(nx) * l / E2A2;
    w_B = W_AB(nx);
end
%% 辛普森法数值积分
function y = simpson_integrate(f, h)
    % 输入:
    % f - 导数在等距点上的值向量 [f0, f1, f2, ..., fN]
    % h - 采样步长
    % 输出:
    % y - 原函数在对应点上的值向量 [y0, y1, y2, ..., yN]
    N = length(f) - 1; % 采样点数-1
    y = zeros(1, N + 1); % 存储原函数y的值
    % 初始条件
    y(1) = 0;
    % 逐点积分计算原函数y
    for k = 1 : N
        % 计算原函数y(k+1)
        if mod(k, 2) == 1
            % 奇步长: 梯形法则
            y(k + 1) = y(k) + (h / 2) * (f(k) + f(k + 1));
        else
            % 偶步长: 辛普森法则
            y(k + 1) = y(k - 1) + (h / 3) * (f(k - 1) + 4 * f(k) + f(k + 1));
        end
    end
end

3.4 MATLAB代码运行结果

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812
813
算法值为: -0.0050

解析值为: -0.0051

算法值与解析值相对误差为: 0.8236%

杆AB的挠度矩阵:

  列 1 至 6

         0   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 7 至 12

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 13 至 18

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 19 至 24

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 25 至 30

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 31 至 36

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0001   -0.0001

  列 37 至 42

   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001

  列 43 至 48

   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001

  列 49 至 54

   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001

  列 55 至 60

   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0002   -0.0002

  列 61 至 66

   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002

  列 67 至 72

   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002

  列 73 至 78

   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0003   -0.0003

  列 79 至 84

   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003

  列 85 至 90

   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003

  列 91 至 96

   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004

  列 97 至 102

   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004

  列 103 至 108

   -0.0004   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0005

  列 109 至 114

   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0005

  列 115 至 120

   -0.0006   -0.0006   -0.0006   -0.0006   -0.0006   -0.0006

  列 121 至 126

   -0.0006   -0.0006   -0.0006   -0.0006   -0.0007   -0.0007

  列 127 至 132

   -0.0007   -0.0007   -0.0007   -0.0007   -0.0007   -0.0007

  列 133 至 138

   -0.0007   -0.0007   -0.0008   -0.0008   -0.0008   -0.0008

  列 139 至 144

   -0.0008   -0.0008   -0.0008   -0.0008   -0.0008   -0.0008

  列 145 至 150

   -0.0009   -0.0009   -0.0009   -0.0009   -0.0009   -0.0009

  列 151 至 156

   -0.0009   -0.0009   -0.0010   -0.0010   -0.0010   -0.0010

  列 157 至 162

   -0.0010   -0.0010   -0.0010   -0.0010   -0.0010   -0.0011

  列 163 至 168

   -0.0011   -0.0011   -0.0011   -0.0011   -0.0011   -0.0011

  列 169 至 174

   -0.0011   -0.0012   -0.0012   -0.0012   -0.0012   -0.0012

  列 175 至 180

   -0.0012   -0.0012   -0.0012   -0.0013   -0.0013   -0.0013

  列 181 至 186

   -0.0013   -0.0013   -0.0013   -0.0013   -0.0014   -0.0014

  列 187 至 192

   -0.0014   -0.0014   -0.0014   -0.0014   -0.0014   -0.0014

  列 193 至 198

   -0.0015   -0.0015   -0.0015   -0.0015   -0.0015   -0.0015

  列 199 至 204

   -0.0015   -0.0016   -0.0016   -0.0016   -0.0016   -0.0016

  列 205 至 210

   -0.0016   -0.0016   -0.0017   -0.0017   -0.0017   -0.0017

  列 211 至 216

   -0.0017   -0.0017   -0.0017   -0.0018   -0.0018   -0.0018

  列 217 至 222

   -0.0018   -0.0018   -0.0018   -0.0018   -0.0019   -0.0019

  列 223 至 228

   -0.0019   -0.0019   -0.0019   -0.0019   -0.0020   -0.0020

  列 229 至 234

   -0.0020   -0.0020   -0.0020   -0.0020   -0.0020   -0.0021

  列 235 至 240

   -0.0021   -0.0021   -0.0021   -0.0021   -0.0021   -0.0022

  列 241 至 246

   -0.0022   -0.0022   -0.0022   -0.0022   -0.0022   -0.0023

  列 247 至 252

   -0.0023   -0.0023   -0.0023   -0.0023   -0.0023   -0.0023

  列 253 至 258

   -0.0024   -0.0024   -0.0024   -0.0024   -0.0024   -0.0024

  列 259 至 264

   -0.0025   -0.0025   -0.0025   -0.0025   -0.0025   -0.0025

  列 265 至 270

   -0.0026   -0.0026   -0.0026   -0.0026   -0.0026   -0.0026

  列 271 至 276

   -0.0027   -0.0027   -0.0027   -0.0027   -0.0027   -0.0027

  列 277 至 282

   -0.0028   -0.0028   -0.0028   -0.0028   -0.0028   -0.0029

  列 283 至 288

   -0.0029   -0.0029   -0.0029   -0.0029   -0.0029   -0.0030

  列 289 至 294

   -0.0030   -0.0030   -0.0030   -0.0030   -0.0030   -0.0031

  列 295 至 300

   -0.0031   -0.0031   -0.0031   -0.0031   -0.0031   -0.0032

  列 301 至 306

   -0.0032   -0.0032   -0.0032   -0.0032   -0.0033   -0.0033

  列 307 至 312

   -0.0033   -0.0033   -0.0033   -0.0033   -0.0034   -0.0034

  列 313 至 318

   -0.0034   -0.0034   -0.0034   -0.0035   -0.0035   -0.0035

  列 319 至 324

   -0.0035   -0.0035   -0.0035   -0.0036   -0.0036   -0.0036

  列 325 至 330

   -0.0036   -0.0036   -0.0036   -0.0037   -0.0037   -0.0037

  列 331 至 336

   -0.0037   -0.0037   -0.0038   -0.0038   -0.0038   -0.0038

  列 337 至 342

   -0.0038   -0.0039   -0.0039   -0.0039   -0.0039   -0.0039

  列 343 至 348

   -0.0039   -0.0040   -0.0040   -0.0040   -0.0040   -0.0040

  列 349 至 354

   -0.0041   -0.0041   -0.0041   -0.0041   -0.0041   -0.0041

  列 355 至 360

   -0.0042   -0.0042   -0.0042   -0.0042   -0.0042   -0.0043

  列 361 至 366

   -0.0043   -0.0043   -0.0043   -0.0043   -0.0044   -0.0044

  列 367 至 372

   -0.0044   -0.0044   -0.0044   -0.0044   -0.0045   -0.0045

  列 373 至 378

   -0.0045   -0.0045   -0.0045   -0.0046   -0.0046   -0.0046

  列 379 至 384

   -0.0046   -0.0046   -0.0047   -0.0047   -0.0047   -0.0047

  列 385 至 390

   -0.0047   -0.0047   -0.0048   -0.0048   -0.0048   -0.0048

  列 391 至 396

   -0.0048   -0.0049   -0.0049   -0.0049   -0.0049   -0.0049

  列 397 至 400

   -0.0050   -0.0050   -0.0050   -0.0050

杆CD的挠度矩阵:

  列 1 至 6

         0   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 7 至 12

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 13 至 18

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 19 至 24

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 25 至 30

   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000   -0.0000

  列 31 至 36

   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001

  列 37 至 42

   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001

  列 43 至 48

   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001

  列 49 至 54

   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0001   -0.0002   -0.0002

  列 55 至 60

   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002

  列 61 至 66

   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002   -0.0002

  列 67 至 72

   -0.0002   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003

  列 73 至 78

   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003   -0.0003

  列 79 至 84

   -0.0003   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004

  列 85 至 90

   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004   -0.0004

  列 91 至 96

   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0005

  列 97 至 102

   -0.0005   -0.0005   -0.0005   -0.0006   -0.0006   -0.0006

  列 103 至 108

   -0.0006   -0.0006   -0.0006   -0.0006   -0.0006   -0.0006

  列 109 至 114

   -0.0007   -0.0007   -0.0007   -0.0007   -0.0007   -0.0007

  列 115 至 120

   -0.0007   -0.0007   -0.0008   -0.0008   -0.0008   -0.0008

  列 121 至 126

   -0.0008   -0.0008   -0.0008   -0.0009   -0.0009   -0.0009

  列 127 至 132

   -0.0009   -0.0009   -0.0009   -0.0009   -0.0010   -0.0010

  列 133 至 138

   -0.0010   -0.0010   -0.0010   -0.0010   -0.0010   -0.0011

  列 139 至 144

   -0.0011   -0.0011   -0.0011   -0.0011   -0.0011   -0.0012

  列 145 至 150

   -0.0012   -0.0012   -0.0012   -0.0012   -0.0012   -0.0012

  列 151 至 156

   -0.0013   -0.0013   -0.0013   -0.0013   -0.0013   -0.0014

  列 157 至 162

   -0.0014   -0.0014   -0.0014   -0.0014   -0.0014   -0.0015

  列 163 至 168

   -0.0015   -0.0015   -0.0015   -0.0015   -0.0015   -0.0016

  列 169 至 174

   -0.0016   -0.0016   -0.0016   -0.0016   -0.0017   -0.0017

  列 175 至 180

   -0.0017   -0.0017   -0.0017   -0.0018   -0.0018   -0.0018

  列 181 至 186

   -0.0018   -0.0018   -0.0019   -0.0019   -0.0019   -0.0019

  列 187 至 192

   -0.0019   -0.0020   -0.0020   -0.0020   -0.0020   -0.0020

  列 193 至 198

   -0.0021   -0.0021   -0.0021   -0.0021   -0.0022   -0.0022

  列 199 至 204

   -0.0022   -0.0022   -0.0022   -0.0023   -0.0023   -0.0023

  列 205 至 210

   -0.0023   -0.0024   -0.0024   -0.0024   -0.0024   -0.0024

  列 211 至 216

   -0.0025   -0.0025   -0.0025   -0.0025   -0.0026   -0.0026

  列 217 至 222

   -0.0026   -0.0026   -0.0027   -0.0027   -0.0027   -0.0027

  列 223 至 228

   -0.0028   -0.0028   -0.0028   -0.0028   -0.0029   -0.0029

  列 229 至 234

   -0.0029   -0.0029   -0.0030   -0.0030   -0.0030   -0.0030

  列 235 至 240

   -0.0031   -0.0031   -0.0031   -0.0031   -0.0032   -0.0032

  列 241 至 246

   -0.0032   -0.0032   -0.0033   -0.0033   -0.0033   -0.0034

  列 247 至 252

   -0.0034   -0.0034   -0.0034   -0.0035   -0.0035   -0.0035

  列 253 至 258

   -0.0035   -0.0036   -0.0036   -0.0036   -0.0037   -0.0037

  列 259 至 264

   -0.0037   -0.0037   -0.0038   -0.0038   -0.0038   -0.0039

  列 265 至 270

   -0.0039   -0.0039   -0.0039   -0.0040   -0.0040   -0.0040

  列 271 至 276

   -0.0041   -0.0041   -0.0041   -0.0042   -0.0042   -0.0042

  列 277 至 282

   -0.0042   -0.0043   -0.0043   -0.0043   -0.0044   -0.0044

  列 283 至 288

   -0.0044   -0.0045   -0.0045   -0.0045   -0.0046   -0.0046

  列 289 至 294

   -0.0046   -0.0047   -0.0047   -0.0047   -0.0047   -0.0048

  列 295 至 300

   -0.0048   -0.0048   -0.0049   -0.0049   -0.0049   -0.0050

  列 301 至 306

   -0.0050   -0.0050   -0.0051   -0.0051   -0.0051   -0.0052

  列 307 至 312

   -0.0052   -0.0052   -0.0053   -0.0053   -0.0053   -0.0054

  列 313 至 318

   -0.0054   -0.0054   -0.0055   -0.0055   -0.0055   -0.0056

  列 319 至 324

   -0.0056   -0.0057   -0.0057   -0.0057   -0.0058   -0.0058

  列 325 至 330

   -0.0058   -0.0059   -0.0059   -0.0059   -0.0060   -0.0060

  列 331 至 336

   -0.0060   -0.0061   -0.0061   -0.0062   -0.0062   -0.0062

  列 337 至 342

   -0.0063   -0.0063   -0.0063   -0.0064   -0.0064   -0.0065

  列 343 至 348

   -0.0065   -0.0065   -0.0066   -0.0066   -0.0066   -0.0067

  列 349 至 354

   -0.0067   -0.0068   -0.0068   -0.0068   -0.0069   -0.0069

  列 355 至 360

   -0.0069   -0.0070   -0.0070   -0.0071   -0.0071   -0.0071

  列 361 至 366

   -0.0072   -0.0072   -0.0073   -0.0073   -0.0073   -0.0074

  列 367 至 372

   -0.0074   -0.0075   -0.0075   -0.0075   -0.0076   -0.0076

  列 373 至 378

   -0.0077   -0.0077   -0.0077   -0.0078   -0.0078   -0.0079

  列 379 至 384

   -0.0079   -0.0079   -0.0080   -0.0080   -0.0081   -0.0081

  列 385 至 390

   -0.0082   -0.0082   -0.0082   -0.0083   -0.0083   -0.0084

  列 391 至 396

   -0.0084   -0.0085   -0.0085   -0.0085   -0.0086   -0.0086

  列 397 至 402

   -0.0087   -0.0087   -0.0088   -0.0088   -0.0088   -0.0089

  列 403 至 408

   -0.0089   -0.0090   -0.0090   -0.0091   -0.0091   -0.0091

  列 409 至 414

   -0.0092   -0.0092   -0.0093   -0.0093   -0.0094   -0.0094

  列 415 至 420

   -0.0095   -0.0095   -0.0095   -0.0096   -0.0096   -0.0097

  列 421 至 426

   -0.0097   -0.0098   -0.0098   -0.0099   -0.0099   -0.0100

  列 427 至 432

   -0.0100   -0.0101   -0.0101   -0.0101   -0.0102   -0.0102

  列 433 至 438

   -0.0103   -0.0103   -0.0104   -0.0104   -0.0105   -0.0105

  列 439 至 444

   -0.0106   -0.0106   -0.0107   -0.0107   -0.0108   -0.0108

  列 445 至 450

   -0.0109   -0.0109   -0.0109   -0.0110   -0.0110   -0.0111

  列 451 至 456

   -0.0111   -0.0112   -0.0112   -0.0113   -0.0113   -0.0114

  列 457 至 462

   -0.0114   -0.0115   -0.0115   -0.0116   -0.0116   -0.0117

  列 463 至 468

   -0.0117   -0.0118   -0.0118   -0.0119   -0.0119   -0.0120

  列 469 至 474

   -0.0120   -0.0121   -0.0121   -0.0122   -0.0122   -0.0123

  列 475 至 480

   -0.0123   -0.0124   -0.0124   -0.0125   -0.0125   -0.0126

  列 481 至 486

   -0.0126   -0.0127   -0.0127   -0.0128   -0.0128   -0.0129

  列 487 至 492

   -0.0129   -0.0130   -0.0130   -0.0131   -0.0131   -0.0132

  列 493 至 498

   -0.0133   -0.0133   -0.0134   -0.0134   -0.0135   -0.0135

  列 499 至 504

   -0.0136   -0.0136   -0.0137   -0.0137   -0.0138   -0.0138

  列 505 至 510

   -0.0139   -0.0139   -0.0140   -0.0140   -0.0141   -0.0141

  列 511 至 516

   -0.0142   -0.0143   -0.0143   -0.0144   -0.0144   -0.0145

  列 517 至 522

   -0.0145   -0.0146   -0.0146   -0.0147   -0.0147   -0.0148

  列 523 至 528

   -0.0148   -0.0149   -0.0150   -0.0150   -0.0151   -0.0151

  列 529 至 534

   -0.0152   -0.0152   -0.0153   -0.0153   -0.0154   -0.0154

  列 535 至 540

   -0.0155   -0.0156   -0.0156   -0.0157   -0.0157   -0.0158

  列 541 至 546

   -0.0158   -0.0159   -0.0159   -0.0160   -0.0161   -0.0161

  列 547 至 552

   -0.0162   -0.0162   -0.0163   -0.0163   -0.0164   -0.0165

  列 553 至 558

   -0.0165   -0.0166   -0.0166   -0.0167   -0.0167   -0.0168

  列 559 至 564

   -0.0168   -0.0169   -0.0170   -0.0170   -0.0171   -0.0171

  列 565 至 570

   -0.0172   -0.0172   -0.0173   -0.0174   -0.0174   -0.0175

  列 571 至 576

   -0.0175   -0.0176   -0.0176   -0.0177   -0.0178   -0.0178

  列 577 至 582

   -0.0179   -0.0179   -0.0180   -0.0181   -0.0181   -0.0182

  列 583 至 588

   -0.0182   -0.0183   -0.0183   -0.0184   -0.0185   -0.0185

  列 589 至 594

   -0.0186   -0.0186   -0.0187   -0.0188   -0.0188   -0.0189

  列 595 至 600

   -0.0189   -0.0190   -0.0190   -0.0191   -0.0192   -0.0192

  列 601 至 606

   -0.0193   -0.0193   -0.0194   -0.0195   -0.0195   -0.0196

  列 607 至 612

   -0.0196   -0.0197   -0.0198   -0.0198   -0.0199   -0.0199

  列 613 至 618

   -0.0200   -0.0201   -0.0201   -0.0202   -0.0202   -0.0203

  列 619 至 624

   -0.0204   -0.0204   -0.0205   -0.0205   -0.0206   -0.0207

  列 625 至 630

   -0.0207   -0.0208   -0.0208   -0.0209   -0.0210   -0.0210

  列 631 至 636

   -0.0211   -0.0211   -0.0212   -0.0213   -0.0213   -0.0214

  列 637 至 642

   -0.0214   -0.0215   -0.0216   -0.0216   -0.0217   -0.0217

  列 643 至 648

   -0.0218   -0.0219   -0.0219   -0.0220   -0.0221   -0.0221

  列 649 至 654

   -0.0222   -0.0222   -0.0223   -0.0224   -0.0224   -0.0225

  列 655 至 660

   -0.0225   -0.0226   -0.0227   -0.0227   -0.0228   -0.0229

  列 661 至 666

   -0.0229   -0.0230   -0.0230   -0.0231   -0.0232   -0.0232

  列 667 至 672

   -0.0233   -0.0233   -0.0234   -0.0235   -0.0235   -0.0236

  列 673 至 678

   -0.0237   -0.0237   -0.0238   -0.0238   -0.0239   -0.0240

  列 679 至 684

   -0.0240   -0.0241   -0.0242   -0.0242   -0.0243   -0.0243

  列 685 至 690

   -0.0244   -0.0245   -0.0245   -0.0246   -0.0247   -0.0247

  列 691 至 696

   -0.0248   -0.0248   -0.0249   -0.0250   -0.0250   -0.0251

  列 697 至 702

   -0.0252   -0.0252   -0.0253   -0.0253   -0.0254   -0.0255

  列 703 至 708

   -0.0255   -0.0256   -0.0257   -0.0257   -0.0258   -0.0259

  列 709 至 714

   -0.0259   -0.0260   -0.0260   -0.0261   -0.0262   -0.0262

  列 715 至 720

   -0.0263   -0.0264   -0.0264   -0.0265   -0.0265   -0.0266

  列 721 至 726

   -0.0267   -0.0267   -0.0268   -0.0269   -0.0269   -0.0270

  列 727 至 732

   -0.0271   -0.0271   -0.0272   -0.0272   -0.0273   -0.0274

  列 733 至 738

   -0.0274   -0.0275   -0.0276   -0.0276   -0.0277   -0.0278

  列 739 至 744

   -0.0278   -0.0279   -0.0279   -0.0280   -0.0281   -0.0281

  列 745 至 750

   -0.0282   -0.0283   -0.0283   -0.0284   -0.0285   -0.0285

  列 751 至 756

   -0.0286   -0.0287   -0.0287   -0.0288   -0.0288   -0.0289

  列 757 至 762

   -0.0290   -0.0290   -0.0291   -0.0292   -0.0292   -0.0293

  列 763 至 768

   -0.0294   -0.0294   -0.0295   -0.0295   -0.0296   -0.0297

  列 769 至 774

   -0.0297   -0.0298   -0.0299   -0.0299   -0.0300   -0.0301

  列 775 至 780

   -0.0301   -0.0302   -0.0303   -0.0303   -0.0304   -0.0304

  列 781 至 786

   -0.0305   -0.0306   -0.0306   -0.0307   -0.0308   -0.0308

  列 787 至 792

   -0.0309   -0.0310   -0.0310   -0.0311   -0.0312   -0.0312

  列 793 至 798

   -0.0313   -0.0313   -0.0314   -0.0315   -0.0315   -0.0316

  列 799 至 800

   -0.0317   -0.0317

4 总结

  本文用两条独立的路径求出了同一结构的 BB 点挠度：第 2 节的解析法从挠曲线微分方程出发，分段求出杆 ABAB、CDCD 的转角与挠度表达式，再由杆 BEBE 的轴向变形协调条件联立解出轴力 ff；第 3 节的MATLAB 数值法把杆离散成微元，用迭代传递剪力、弯矩与挠度的二阶导数，以辛普森法积分求得挠度，并通过轴力迭代使钢杆变形与结构挠度相协调。

  两者的结果吻合，误差小于 1%1\%。这说明本文建立的数值流程是正确的——数值法的各个环节（微元划分、辛普森积分、轴力迭代）都没有引入显著误差。

  两种方法的特点对比：

解析法 MATLAB 数值法
思路 分段列挠曲线微分方程，联立边界条件 离散成微元，逐段迭代传递内力与变形
精度 精确解（在假设成立的前提下） 与解析解误差 <1%<1\%，受微元长度 dxdx 与迭代步长 dfdf 控制
适用 构件少、载荷规则的结构；公式推导量随构件数迅速增长 多构件耦合、复杂边界条件；改参数即可重算
局限 构件一多，手工推导极易出错 结果受离散精度影响，需先验证收敛性

  本题选用 dx=0.005mdx=0.005m、df=0.5Ndf=0.5N。这样小的步长对本题规模来说余量充足，但并非越大越好——步长过小会成倍增加迭代次数，而精度提升有限。实际使用时应先做一次步长收敛性检查，再取满足精度要求的最粗步长。

致谢

  感谢房凯老师这一个学期的耐心教导！

  感谢父母与朋友在生活中无微不至的照顾！

  在我这么多朋友中，我尤其感谢远在河北某本科上学的异父异母的亲兄弟——Hana，感谢他在编程方面对我的帮助。感谢他凌晨一点半还热心地教我怎样在Github上上传文件，我的博客网站得以建成，他功不可没。

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